Финансовая математика

Материал из Энциклопедия "Государственная гражданская служба"
Перейти к: навигация, поиск

Актуальность

Актуальность изучения курса определяется тем, что принятие финансовых решений в области выбора источника финансирования деятельности, выбора объекта вложения капитала, невозможно без использования математических знаний. Финансовая экономика является новым направлением, возникшим из потребностей участников финансовых рынков. Как и любое современное научное направление, финансовая экономика строится на базе, требующей хороших математических знаний, особенно в области теории вероятностей и случайных процессов. Дисциплина «Финансовая математика» направлена на подготовку студентов к эффективному использованию современных методов количественного финансового анализа для решения прикладных финансово-экономических задач в процессе обучения в вузе и в ходе будущей профессиональной деятельности.

Цель и задачи дисциплины

Целями учебной дисциплины «Финансовая математика» являются формирование у обучающихся твердых теоретических знаний и практических навыков по использованию методов финансовых вычислений при анализе потоков платежей, эффективности инвестиционных проектов, расчете процентов и доходности финансово-кредитных операций в современных экономических условиях. В результате освоения дисциплины студент должен:

  • - знать:

закономерности функционирования финансов и кредита; методику и практику использования финансово-экономических расчетов (разовые платежи; наращение простых, сложных процентов с конвертацией и без конвертации валюты; наращение по простой, сложной и непрерывной процентной ставке; дисконтирование; номинальная и эффективная учетные ставки процентов; реальная ставка процента; расчёт срока ссуды; инфляция: способы компенсации потерь; потоки платежей: наращенная сумма, величина потока, потоки с постоянными и переменными платежами, виды финансовых рент; финансовая эквивалентность обязательств); количественный анализ финансовых операций (зависимость конечных результатов от основных параметров операции, сделки, контракта); методы погашения задолженностей; систему показателей оценивания эффективности производственных инвестиций; современные программные продукты, необходимые для решения задач в финансово-кредитной сфере.

  • - уметь:

применять современный математический инструментарий для решения содержательных задач в сфере финансов и кредита; использовать финансово-экономические расчеты при решении практических задач, в том числе и при отсутствии достоверной статистической информации; производить наращение по простым и сложным процентам; осуществлять дисконтирование и учет по простым и сложным ставкам процентов; проводить количественный анализ финансовых операций; строить модели количественных оценок; рассчитывать параметры эквивалентного изменения условий контракта; разрабатывать план погашения задолженности; рассчитывать обобщающие характеристики потоков платежей применительно к различным видам финансовых рент; анализировать инвестиционные проекты.

  • - владеть:

навыками моделирования финансовых и денежно-кредитных процессов современных методов финансовых вычислений, иметь возможности их использования в экономических исследованиях и практического применения в банках, инвестиционных компаниях, финансовых отделах производственных и коммерческих организаций, в инвестиционных подразделениях страховых учреждений и пенсионных фондов.

Программа курса

ВВЕДЕНИЕ В ВЫСШИЕ ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. НАРАЩЕНИЕ ПО ПРОСТЫМ И СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ

В данной лекции были рассмотрены объект, предмет и задачи финансовой математики, время как ключевой фактор в финансовых расчетах, механизмы влияния фактора времени на результат финансовых операций, понятие процента,начисление простых процентов при фиксированных изменениях процентной ставки, эквивалентная ставка, наращение по простой процентной ставке, понятие банковского дисконтирования, процентная и учетная ставки, Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования.

Лекция

Задачи на семинар

1. Определить срок ссуды в днях, для того чтобы долг, равный 150000 руб., вырос до 180000 руб. при условии начисления по простым процентам по ставке 22% годовых?
2. Имеются два обязательства. Условия первого: .S1 = 450000 рублей. руб., T1 = 5 мес; условия второго: S2 = 500000 руб., T2 = 11 мес. Требуется: а) найти ставку простого процента, при которой эти обязательства равноценны; б) определить, какое из этих обязательств выгоднее для получателя денег при ставке простых процентов I = 0,15.

3. Получив годовой кредит в 3 млн руб. под ставку 11,5%, финансовый посредник капитализирует его по той же ставке с периодичностью в 3 месяца. Какую годовую процентную маржу и чистый доход он получит?

4. Вкладчик внес в Сбербанк под определенный процент 100000 руб. Через год он снял со счета четвертую часть процентной прибавки, а основной вклад и оставшуюся прибавку оставил в банке. Еще через год у вкладчика на счету оказалось 135000 руб. Каков процент годовых по вкладу в Сбербанке?

5. Проверьте: инвестиционная компания утверждает что, капитал компании увеличивается в 1) 2,5 раза за 8,5 лет при сложной процентной ставке 10,1 % и полугодовой выплате процентов; 2) 3 раза за 8,5 лет при сложной процентной ставке 13,1 % и ежеквартальной выплате процентов;

6. Сумма капитала на 01.01.2015 составляет 100000 у.е. Какова будет наращенная стоимость на 01.01.2019, если начисление процентов будет выполняться шесть раз в год при номинальной ставке 22,5% годовых? Определить эффективную ставку процентов.

7. Установить время увеличения капитала в три раза при ежемесячном начислении процентов и при номинальной ставке 33% годовых. Выполнить коррекцию наращенного капитала так, чтобы время было с целым количеством месяцев.

8.Определить наращенную сумму при первоначальном взносе 100000 у.е. на 5 лет, если проценты на основной взнос начисляются по ставке 11%, а проценты на проценты по ставке 15%? На капитал в сумме 700 тыс. руб. начисляются сложные проценты – 10,1% годовых ежеквартально в течение 5 лет. Определите эквивалентную ставку непрерывного наращения «сигма» (силу роста).

9. Клиент положил в банк 800000 тыс. руб. сроком на один год. Согласно депозитному договору годовая процентная ставка до середины второго квартала составляет 25%, далее до конца третьего квартала - 20%, а с начала четвертого квартала - 15%. Какую сумму клиент получит в конце года при условии, что договор предусматривает начисление по сложным процентам?

10. Что выгоднее: вложить 800000 тыс. руб. на 1 месяц под годовую ставку 11,5% или на 6 мес. под 11,8%?

ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТЫМ И СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ. ИНФЛЯЦИЯ.

В данной лекции были рассмотрены понятие банковского дисконтирования, процентная и учетная ставки, Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования.

Лекция

Задачи на семинар

1.Петров занял у господина Семенова 11000 руб. и выдал ему вексель, по которому обязался выплатить через три месяца 11500 руб. Найти годовой процент I (ставку наращения) и соответственно годовую учетную ставку D? Если I и D – А) ставки простых процентов; Б) ставки сложных процентов

2. Переводной вексель выдан на сумму 200000 руб. с уплатой 27 октября. Владелец учел его в банке 21 августа по учетной ставке 9%. Какую сумму он получил и чему равен дисконт?

3.Определить срок платежа по векселю на сумму 10000 у.е., если при его учете по номинальной учетной ставке 28% годовых с ежемесячным дисконтированием владелец получил ссуду 9200 у.е. При необходимости выполнить коррекцию так, чтобы срок был с целым количеством дней (из расчета 360 дней в году).

4.Срок до погашения векселя равен трем годам. Дисконт при его учете составил 25%. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?

5. На капитал в сумме 700 тыс. руб. начисляются сложные проценты – 10,1% годовых ежеквартально в течение 5 лет. Определите эквивалентную ставку непрерывного наращения «сигма» (силу роста).

6. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 15,6% реальная ставка оказалась 8%?

7. Определить число лет N, необходимых для двукратного подорожания (правило числа 70). Пользуясь правилом числа 70, спрогнозируйте период удвоения цены при следующих значениях годового темпа инфляции: а) r = 0,10; б ) r = 3,5.

8. На сумму 2 млн. руб. в течение трех месяцев начисляются простые проценты из расчета 32% годовых. Ежемесячная инфляция в рассматриваемом периоде характеризуется темпами 2, 2, 2, 1 и 1,9%. Определить наращенную сумму с учетом инфляции.

9. В результате инфляционных процессов цены выросли на 700%. Оппозиция потребовала от правительства возвращения цен на прежний уровень, для чего предложила трехлетнюю программу снижения цен на одно и то же число процентов каждый год. В ходе переговоров правительству удалось смягчить это требование до 30% и достичь соглашения об увеличении срока антиинфляционной программы. Определить: а) предусмотренный двухлетней программой темп дефляции; б) срок скорректированной программы.

Лабораторная работа MS EXCEL

Задача 1. Сумма в 100000 руб. помещена в банк на депозит сроком на 5 лет. Ставка по депозиту - 12% годовых, проценты начисляются 2 раза в год. Какая сумма будет находиться на счете на конец срока?

Задача 2. Выплаченная по 4-летнему депозиту сумма составила 150000 руб. Определить первоначальную величину вклада, если ставка по депозиту - 11% годовых и ежемесячная капитализация.

Задача 3. Страховая компания реализует полисы стоимостью 20000 у.е. Определить годовую доходность операции, если по условиям - выплата 30 000 у.е. по истечении 3 лет. Ежеквартальное начисление процентов.

Задача 4. За какой срок в годах сумма 75 000 у.е. достигнет 200 000 у.е.? Ставка - 15% годовых, начисление процентов производится ежеквартально.

Задача 5. Найти эффективную ставку из задачи №4.

Потоки платежей. Финансовые ренты

Лекция 3, Лекция 4


Задачи на семинар

1. Найти современную стоимость потока с платежами 20, 30, 40, 50, которые выплачиваются в конце каждого полугодия. Процентная ставка - 25% годовых. Решить в общем случае.

2. Создается фонд - ежегодно выделяется по 500 тыс. руб. На аккумулируемые средства начисляются сложные проценты по ставке 11%. Необходимо определить общую сумму фонда через 4 года для следующих вариантов поступления средств и начисления процентов:

  • а) поступление в конце года, начисление процентов ежегодно;
  • б) поступление в конце квартала, начисление процентов ежегодно;
  • в) поступление в конце квартала, начисление процентов поквартальное;
  • г) поступление в конце квартала, начисление процентов по полугодиям;
  • д) поступления в конце года при непрерывном начислении процентов.

3. Какую сумму необходимо поместить в банк, чтобы иметь возможность в течение следующих 10 лет ежегодно снимать со счета 80 тыс. руб., исчерпав счет полностью к концу срока? Решить задачу для следующих вариантов начисления процентов:

  • а) в конце года по ставке i = 8%;
  • б) в конце квартала при той же годовой ставке;
  • в) непрерывно с силой роста сигма = 7%.

4. Сдана собственность в аренду на 7 лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо (выплаты в конце периода) на следующих условиях: первые 4 года по 5 млн. руб., в оставшиеся 3 года по 7 млн. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 13%.

5. Каждый год в начале года в банк вносится сумма - 7 млн. руб. под 15% годовых. Какая сумма будет на счете по истечении 5 лет?

6. У Ивана прирост доходов составляет примерно 10% в год. Какова современная стоимость и наращенная сумма доходов за 5 лет, если прогнозируемая сумма 1-го года - 500000 руб, а процентная ставка - 12%? Решить задачу, если используется рента постнумерандо.

7. Доходы в размере 200 тыс. руб. в год поступают равномерно в течение 4 лет. Ожидается, что инфляция в будущем составит 10% в год и величина доходов будет определяться с поправкой на инфляцию. Какова современная стоимость корректируемого на инфляцию потока поступлений, если годовая ставка составляет 12%?

8. Необходимо найти размер равных взносов в конце года в следующих двух случаях, если предусматривается начисление на взносы годовых процентов по ставке 11%. а) Создать через 7 лет фонд, равный 3000000 руб. б) Погасить через 7 лет задолженность, равную 3000000 руб.

9. Я должен выплатить Иванову 100 тыс. руб. Иванов предлагает заменить эту разовую выплату ежегодными платежами в конце каждого года по 20 тыс. руб. каждый. Сколько лет должен будет ждать Иванов полного погашения долга, если на долг начисляются проценты по ставке 12% годовых?

10) Годовая рента (постнумерандо) сроком 10 лет, c членом потока равным 3 млн руб., откладывается на 3 года без изменения срока самой ренты. Процентная ставка, принятая для пролонгирования, - 10% годовых. Определить: размер платежа у сдвинутой ренты и размер платежа заменяющей ренты, если ее срок увеличить до 15 лет.

11) Сумма инвестиций, осуществленных за счет привлеченных средств, равна 12 млн. руб. Предполагается, что отдача от них составит 1,1 млн. руб. ежегодно (получаемых в конце года). Определить: а) за какой срок Т окупятся инвестиции, если на долг начисляются проценты по ставке 8% годовых; б) как следует изменить финансовый поток, чтобы в случае дробного ответа скорректировать срок окупаемости на наименьшее целое, не превосходящее T?

12) Финансовая рента состоит из т равных по величине платежей R, которые следуют с периодичностью в r лет (r > 1). Сложные проценты по ставке i начисляются раз в году. Первая выплата производится в конце года r. Определить: а) современную величину и наращенную сумму ренты: б) как изменятся эти характеристики при условии, что платежи приурочены к началу каждого периода?

13 Бессрочный аннуитет состоит из равных по величине платежей R, которые следуют с периодичностью в r лет. Сложные проценты по ставке i начисляются раз в году. Первая выплата производится в начале первого года. Найти текущую стоимость (современную величину) аннуитета.

Лабораторная работа в MS EXCEL

1. Я хочу купить телевизор. Выгоднее заплатить 300 000 рублей сейчас или платить по 7000 рублей в месяц в течение 5 лет при ставке 12% годовых?
2. У меня на депозите лежит 100000 руб. Если в конце каждого месяца последующих 40 лет я буду инвестировать по 10000 рублей в месяц на мою будущую пенсию и зарабатывать 11% годовых на моих вкладах, сколько я буду иметь денег к моменту выхода на пенсию?
3. Я беру кредит 400000 рублей на 10 месяцев с годовой процентной ставкой 21%. Сколько я должен платить ежемесячно? Каков будет ежемесячный размер платежа в погашение основной суммы кредита и выплат процентов по кредиту (interest)?
4. Я хочу взять в кредит 1000000 рублей и выплачивать его в течение 15 лет. Ежемесячно я могу вносить не более 20000 рублей. Какую максимальную процентную годовую ставку я могу себе позволить?
5. Если я беру ссуду 3000000 рублей с процентной ставкой 9% и вношу ежеквартально по 80000 рублей, сколько лет у меня займет погашение ссуды?

Кредит

Лекция 5

Анализ инвестиций

Лекция 6

Задания на семинар

1. Предприятие имеет возможность выбрать один из двух типов оборудования А или Б, выполняющих одну и ту же функцию. Срок эксплуатации А - 1 год, Б - 3 года. Сравниваемые варианты имеют следующие потоки вложений и отдач. Если цена капитала 8%, то какое оборудование выгоднее для предприятия: А или Б?

Инвестиционный проект 0 1 2 3
А -12000 15000 - -
Б -12000 6000 6500 7000

2. Инвестиционные проекты А и Б характеризуются следующим распределением потоков платежей (расходов и доходов в конце каждого года)

Проект 1 2 3 4 5 6 7
А -100 -150 50 100 100 150 150
Б -200 -50 50 50 100 200 200

Ставка сравнения составляет 10%. Найти значение чистой текущей стоимости, внутренней ставки доходности, рентабельности, срока окупаемости и обосновать вариант вложения средств.

3.Проект, требующий 900 ден. ед. начальных инвестиций, приносит прибыль 1200 ден. ед. через 2 года. Годовая банковская процентная ставка равна 12%. Определить: а) текущую ценность проекта; б) внутреннюю норму прибыли.

4. Акционеры согласились с предлагаемой длительностью п = 4 года проекта и с необходимым размером инвестиций I = 10 тыс., но требуют обеспечить большую доходность j = 10% вложения этих инвестиций, чем общепринятая ставка i= 8%. Какой для этого нужно обеспечить минимальный ежегодный доход R?
5. Рассмотрим проект со следующим потоком денежных средств:

Year 0 1 2
cash flow -150 250 -55

Определить:сколько значений внутренней нормы доходности имеет данный проект?


Лабораторная работа в Excel

1. Рассмотрите такую последовательность потоков денежных средств в течение четырехлетнего периода. Определите ЧПС этих потоков денежных средств, если r = 0,15 и средства поступают в конце года.

Год 1 2 3 4
-600 долл 550 долл –680 долл 1000 долл


2. Рассмотрите следующие потоки денежных средств. Если сегодня 25 ноября 2015 г. и ставка дисконтирования равна 0,15, какова ЧПС приведенных потоков денежных средств?

Дата Поток денег, долл.
15.12.15 - 1000
11.1.16 300
07.4.16 600
15.7.17 925


3. Вычислите все ВСД для следующего ряда потоков денежных средств.

Год 1 Год 2 Год 3 Год 4 Год 5 Год 6 Год 7
–10 000 долл 8000 долл 1500 долл 1500 долл 1500 долл 1500 долл -1500 долл

4. Найдите все ВСД для проекта, имеющего заданные потоки денежных средств, поступающие в перечисленные даты

10.1.2015 10.7.2015 25.5.2016 18.7.2016 20.3.2017 1.4.2017 10.1.2018
–1000 долл. 900 долл 800 долл 700 долл 500 долл 500 долл 350 долл


5. Для потоков денежных средств. Предположим, что мы можем взять кредит под 12% годовых и инвестировать доходы с годовой ставкой реинвестирования 15%. Вычислите МВСД проекта.

Год 1 Год 2 Год 3 Год 4 Год 5 Год 6 Год 7
–10 000 долл 8000 долл 1500 долл 1500 долл 1500 долл 1500 долл -1500 долл

Темы эссе

  1. Оцените место и значение дисциплины «Финансовая математика» в Вашем образовании по профилю «Финансовый контроль и государственный аудит».
  2. Как Вы видите будущее дисциплины «Финансовая математика» и особенности ее изучения через 30-50 лет?
  3. Какова роль информационно-коммуникационных технологии в понимании современных тенденции дисциплины «Финансовая математика»

Литература

  1. Балдин, К. В. Математические методы и модели в экономике [Электронный ресурс] : учеб. / М. :Флинта, 2012.
  2. Малыхин, В. И. Финансовая математика [Электронный ресурс] : учебное пособие / В. И. Малыхин. - М.: Юнити-Дана, 2012.
  3. Основы финансовых расчетов: учеб. Пособие / С.В. Еремина, А.А. Климов, Н.Ю. Смирнова. – М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2013 г.
  4. Четыркин Е.М. Финансовая математика. – М.: «Дело», 2007.

ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ

  1. Объект и предмет финансовой математики. Основные задачи финансовой математики. Необходимость ее изучения.
  2. Экономический смысл операции наращения и дисконтирования. Виды процентных ставок
  3. Модель простых процентов. Наращение простых процентов. Варианты расчета простых процентов
  4. Плавающие простые проценты. Начисление простых процентов при изменении сумм депозитов во времени
  5. Дисконтирование по простым процентным ставкам Математическое дисконтирование по простым процентам
  6. Банковское дисконтирование по простым процентам. Зависимость между процентной и учетной ставкой.
  7. Модель сложных процентов. Наращение по сложным процентам. Соотношение множителей наращения.
  8. Начисление сложных процентов при расчетном периоде, не равном целому числу лет. Наращение при разных сложных процентных ставках
  9. Начисление сложных процентов при капитализации несколько раз в год. Понятие эффективной и номинальной процентной ставки
  10. Дисконтирование по сложной процентной ставке. Банковское дисконтирование по сложной процентной ставке
  11. Соотношение множителей наращения по сложной ставке. Непрерывное начисление сложных процентов
  12. Определение срока ссуды и размера процентной ставки. Эквивалентность ставок
  13. Инфляция. Обесцененная инфляцией сумма
  14. Поток платежей. Определение. Классификация потоков платежей
  15. Понятие финансовой ренты и ее параметры. Классификация рент
  16. Прямой метод расчета наращенной суммы и современной стоимости потока платежей. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерадо
  17. Годовая рента, начисление процентов m раз в году. Рента р-срочная (m = 1)
  18. Рента p-срочная с начислением процентов m раз в год. Расчет ренты при непрерывном начислении процентов
  19. Современная стоимость ренты. Бессрочная рента
  20. Расчет срока ренты. Постоянная рента пренумерадо
  21. Использование EXCEL для расчета параметров ренты.
  22. Цели количественного анализа долгосрочной задолженности. Способы погашения задолженности
  23. Аннуитетные платежи
  24. Дифференцированный платеж. Принципы расчета выплат при дифференцированном платеже. Отличие аннуитетного от дифференцированного платежа.
  25. Использование финансовых функции excel для расчета погашения задолженности
  26. Показатели оценки финансовой эффективности инвестиционных проектов. Расчет чистого приведенного дохода
  27. Расчет внутренней нормы доходности инвестиционных проектов. Расчет дисконтированного срока окупаемости инвестиций
  28. Расчет индекса прибыльности инвестиций. Анализ проектов различной продолжительности
  29. Использование финансовых функций MS EXCEL для анализа эффективности инвестиций
  30. Доход и доходность финансовой операции
  31. Расчет доходности финансовой операции за несколько периодов
  32. Риск финансовой операции. Количественная оценка риска финансовой операции
  33. Принятие решений в условиях полной неопределенности. Правило Вальда, Сэвиджа, Гурвица
  34. Принятие решения в условиях частичной неопределенности. Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Правило минимизации среднего ожидаемого риска
  35. Оценка рыночного риска для акций. Волатильность
  36. Индекс рынка. Коэффициенты Альфа и Бета
  37. Модель г. Марковица. Постановка задачи
  38. Портфель активов. Доходность портфеля ценных бумаг
  39. Основные этапы формирования портфеля ценных бумаг
  40. Портфель из двух бумаг. Случай полной корреляции
  41. Портфель из двух бумаг. Случай полной антикорреляции
  42. Портфель из двух бумаг. Независимые бумаги
  43. Портфель из двух бумаг. Порфтель заданной эффективности
  44. Портфель из двух бумаг. Портфель заданного риска
  45. Оценка рыночного риска для портфеля ценных бумаг. Коэффициент Шарпа

Народное творчество

Fin mat publilc1.jpg

Куда ни взгляну по финмату,

Мне тягостно сердцу становится,

Пытаясь решить задачу или запомнить формулу

Все мысли куда-то уносятся.

Мне страшно, с грустью признаю

Ведь не подвластен сей предмет мышлению моему

Не буду лукавить, старалась понять

И формул выписать много,

Но каждый раз, пытаясь без листка их рассказать

Я с грустью понимаю безысходность

Давно это нужно было принять

И не терзать себя грустью, тоскою

Но без зачета не в силах предстать

Перед семьей и родною страною